Rüdiger Kladt

Unterricht

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Logarithmieren

Einführung des Logarithmus

Zunächst kann man die Zinseszinsformel zur Berechnung des Kapitals nach n Jahren verwenden: 1000 € werden zu einem Zinssatz von 7,5% angelegt. Nach welcher Zeit hat man 1745 € angespart?

{K_n} = {K_0}{\left( {1 + \frac{p}{{100}}} \right)^n}

In diese eingesetzt erhält man mit den angegebenen Werten

1,745 = {1,075^n}

Die Frage lautet nun: "Wie löst man diese Gleichung nach n auf?" Derartigen Aufgabenstellungen begegnet man immer wieder. Man kann diese Aufgaben dieser Form verallgemeinern: 

{a^x} = b (1)

bedeutet in Worten ausgedrückt: x ist die Hochzahl, mit der man die Basis a potenzieren muss, damit b herauskommt! Hier führt man in der Mathematik den Begriff des Logarithmieren ein: "x ist der Logarithmus von b zur Basis a." Oder mathematisiert:

x = lo{g_a}b (2)

Die Gleichungen (1) und (2) gehen durch Äquivalenzumformung auseinander hervor.

\begin{array}{c}  {a^x} = b &  & |{\log _a} \\   x = lo{g_a}b \\   \end{array}

Moderne Taschenrechner bieten die Möglichkeit, den Logarithmus direkt näherungsweise zu berechnen. Dabei steht log in der Regel für log10 und ln für loge

Aufgabe: Bearbeite das Arbeitsblatt. Dieses Arbeitsblatt mit Übungen zum Logarithmieren beinhaltet im Wesentlichen Aufgaben, die dadurch lösbar sind, dass die Definitionsgleichungen (1) und (2) genutzt werden. Sie dienen der Vorbereitung zur späteren Einführung der Rechenregeln beim Rechnen mit Logarithmen.

Für das Ausgangsproblem 1,745 = {1,075^n} (3) hilft das bislang noch nicht weiter, 

{\log _{1,075}}1,745 = n

da dieser Logarithmus nicht im GTR vorhanden ist.

Regeln für das Rechnen mit Logarithmen

Um sich an das Rechnen mit Logarithmen zu gewöhnen und den Umgang mit dem Taschenrechner einzuüben, sollte man das Arbeitsblatt behandeln. Herleitung und Beweise der allgemeinen Regeln findet man beispielsweise auf der Webseite von Mathematik.net 

Behandeln von Gleichungen

In Zusammenhang mit Gleichungen und deren Auflösung nach Variablen im Exponenten bringt man die Potenz mit der Variablen im  Exponenten auf eine Seite. Durch Logarithmieren und anschließende Umformung gemäß der Rechenregeln ist es grundsätzlich möglich, den Logarithmus zu einer beliebigen Basis zu bilden. In Zusammenhang mit e-Funktionen bietet sich jedoch der natürliche Logarihtmus (ln) an, da sich Logarithmieren und Potenzieren zur gleichen Basis gegenseitig aufheben und so der Exponent direkt übrig bleibt.

Zurück zum Ausgangsproblem

Lösen der Gleichung (3) durch Logarithmieren z.B. mit log10 und anschließendes Auflösen nach n unter Berücksichtigung der Rechenregeln ergibt die Lösung. 

Es dauert 7,7 Jahre bis 1745 € angespart sind.

Vertiefung und Übung

Zur Vertiefung und Übung eignet sich das Domino. Es ist empfehlenswert, dieses in Kleingruppen zu bearbeiten und sich die Rechenschritte, die von einer Karte zur nächsten führen zu verdeutlichen und gegebenenfalls schriftlich festzuhalten.
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Rüdiger Kladt,
23.03.2011 21:13
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Rüdiger Kladt,
23.03.2011 20:30
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Rüdiger Kladt,
17.02.2011 04:40
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Rüdiger Kladt,
17.02.2011 04:35
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